L02 Bit Byte Integer

对于十进制小数，如果用二进制表示，小数点右边第一位的权重是 2^-1， 第二位 2 ^-2 以此类推，用这类方法表示浮点数。

回顾C语言的数据类型以及大小(这里的都是单位字节 Byte)

在这里我们只考虑 X86-64，本课程不考虑32位或者更低

异或运算（XOR）相同为0 不同为1

& 与 | 或 ^ 异或 ~ 非
如果用这些运算符对二进制数进行运算的话，&可以求得交集，|可获得并集，^可获得对称差，~可获得补集。

&& || 是短路逻辑运算，短路与以及短路或，会提前终止逻辑运算

<< 和>>是位移运算符，对二进制位进行操作。其中<<被称作左位移，例如 对于01100010 如果<< 3 就是向左移动三位，会整体向左移动，其中高位（溢出的部分）被清空，低位（空缺的部分）被0补齐。

同理>> 是向右移动，但这里需要区分两种类型：如果是逻辑移动，只需要向右移动，低位丢弃，高位补0；但如果是算术右移，则需要判断是正数还是复数来补符号位（也就是最左边的那一位）。如果是正数（符号位是 0​），高位补 0​。如果是负数（符号位是 1​），高位补 1。

6<<3 就是6这个二进制数向左移动
0000 0110 向左三位会变成 0011 0000

6>>2 是6向右移动2位
0000 0110 向右0000 0110 00 然后低位清空 变成0000 0001

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在这里我们需要辨析一个概念：有符号数和无符号数

有符号数的最高位是用来标记是正数还是负数的，比如对于32位的int，二进制从左往右数第32个数字就是标记为，如果这个数是1那么就是负数，如果是0就是正数。因此，int的最大正值就是从第一位到第31位全是1，第32位为0

$$\text{最大正值} = 2^{30} + 2^{29} + 2^{28} + \dots + 2^1 + 2^0$$

具体的数值就是

$$2^{31} – 1 = 2,147,483,647（约 21.47 亿）$$

但是对于负数，不仅仅只是因为看到了从左往右第32位是1就单纯加符号这么简单，计算机里面有两套系统，一套叫做原码，一套叫做补码。

如果采用原码，会带来一个巨大的结果：拥有两个 ​0​。

• 0000...0000​ 算出来是 +0
• 1000...0000​ 算出来是 -0

在数学上，+0​ 和 -0​ 是一样的，但计算机却要用两套不同的二进制来表示它们。这不仅白白浪费了一个珍贵的编码位置，还会让计算机底层的加法器电路变得无比复杂（因为每次算加减法都要单独判断一堆正负号）。

所以计算机引入了补码。在补码中，最左边的符号位（第 32 位）不再仅仅是一个简单的“正负号开关”，而是具有一个巨大的负权重。

• 在 32 位 int 中，第 32 位的权重是：$-2^{31}$
• 其余第 1 到 31 位的权重依然是正的：$2^0, 2^1, \dots, 2^{30}$

任何一个二进制数的值，就是​所有位置上的数值 $\times$ 其权重的累加和。

例子 A：第 32 位为 1，其余 31 位全为 0

• 它的值 = $1 \times (-2^{31}) + 0 \times 2^{30} + \dots + 0 \times 2^0$
• 计算结果 = $-2,147,483,648$

这就是 int​ 能表示的​最小负数（最大负值） ！它的二进制写出来就是：

10000000 00000000 00000000 00000000

例子 B：第 32 位为 1，其余 31 位全为 1（全 1 状态）

• 它的值 = $1 \times (-2^{31}) + (2^{30} + 2^{29} + \dots + 2^0)$
• 我们知道后面的累加和等于 $2^{31} – 1$
• 最终值 = $-2^{31} + (2^{31} – 1) = \mathbf{-1}$

所以，在计算机里，​全 ​1​​ 的二进制数代表的是 ​-1​​，而不是 -21.47亿！

通过这种设计，int（32位有符号整型）的表示范围完美地连在了一起：

• 正数范围​：1​ 到 2,147,483,647（共 $2^{31}-1$ 个）
• 零​：0​（只有唯一的 0000...0000）
• 负数范围​：-1​ 到 -2,147,483,648（共 $2^{31}$ 个）

因为 -0​ 被消除了，多出来的那一个编码位置正好留给了负数。所以 ​​int​​ **能表示的负数极限（​$-2^{31}$**​ **）比正数极限（​$2^{31}-1$**​ ）的绝对值刚好大 ​1​。

那么现在，如何快速的求一个正数对应的负数的二进制呢？假设这里用正数8 二进制表示就是 0000 1000

1. 写出8的二进制 0000 1000

2. 随后将0000 1000 和 1111 1111 进行异或运算（相同为0 不同为1）也就是按位取反

   得到 1111 0111 ，这时，权重之和为 -9

3. 最后，再在此基础上+1 即1111 0111+ 0000 0001 得到 1111 1000

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符号扩展，假设现在有一个8位的符号数，如何在不改变值的情况下扩展到16位。

1. 对于正数，假设为 0000 1000，那么需要将左侧扩充补0，变成 0000 0000 0000 1000
2. 但是对于负数，由于编码位1，假设是-8 也就是 1111 1000,我们在进行补充的时候，需要扩充8位，随后在左侧补1，也就是
   1111 1111 1111 1000

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